映射的微分学映射 是 流形,
若 含 点允许坐标系 (即 )使 在 的某个邻域内是 的,
则称 在 点 若 点点光滑, 则称
允许坐标系限制在更小的开子集上显然仍是允许坐标系,
因此上述定义等价于存在某个允许坐标系使得 在整个 上是 的....
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《微分流形》第一章-流形间的映射
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《微分流形》第一章-微分流形(2)
拓扑流形 局部道路连通(坐标邻域); 连通 道路连通(局部道路连通); 连通分支可数(第二可数性); 局部紧(局部欧氏). 第二可数性 + 局部紧 仿紧性(任意开覆盖有开的, 局部有限的加细). 局部有限: 称覆盖 是局部有限的, 若 ... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(6-2)-Thom同构
向量丛上的不变量: 紧垂直上同调, 由沿纤维积分给出. 向量丛(全空间)的紧上同调若 为零截面, 则它把 嵌入到 . 为 的形变收缩, 于是 . 那么受Poincaré引理启发, 对于紧上同调, 是否有 ? 但对开Möbius带就不成立. 现在我们... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(6-1)-向量丛基础
主要为了讨论紧垂直上同调与Thom类. 向量丛的局部平凡化延续上节记号. 是向量空间. 若 为 的开覆盖, 其上有微分同胚 , 将 , 且该映射为向量空间的同构, 则称 为秩 的光滑(实)向量丛, 为局部平凡化, 与 称为全空间与底流形. 向量... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(5-2)-Künneth公式
Künneth公式设 , 是流形, 且 的de Rham上同调的维数是有限的, 则 证: 假定 有有限好覆盖. 取 到 , 的投射为 , 则其诱导 , 由于 , 与 可交换, 可约化到上同调间的映射. 若 (好覆盖仅为一个开集), 则... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(5-1)-MV方法
MV方法指用MV序列+五引理, 给出对开覆盖开集个数归纳的证明方法. 该方法导出若干重要的定理, 十分有用. 好覆盖的存在性设 为 维流形, 其上开覆盖 称为好覆盖, 若任意非空有限交微分同胚于 . 定理 1.1. 流形具有好覆盖. 特别地, 紧流形... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(4)-庞加莱引理
de Rham上同调的Poincaré引理本节我们希望证明, . 我们记 为投射, 为零截面, 即 , , . 我们有 但是 , 不过确实有 . 为了证明这一点, 类似代数拓扑中引入 , 我们引入同伦算子 若 , 则称 为同伦算子, 记 ... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(3)-MV序列
Mayer-Vietoris序列是代数拓扑中经典的结论, 对于计算同调群有着莫大的帮助. 它当然也存在于de Rham复形中. 上同调MV序列复形的短正合列在代数拓扑中我们知道, 若存在复形的短正合列 则由zig-zag引理(图追踪), 可以构造... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(2)-流形上的微积分
参考书: Warner《微分流形与李群基础》 流形上的微分形式拉回映射光滑函数 可诱导拉回映射 , ; 同时还可诱导 , . 容易延拓该定义得到 , = . 维上的定义比较自然, 维为何要对基 如此定义需要想一下. 我们已知 , 发现 ... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(1)-de Rham 复形
de Rham 上同调是流形的最重要的微分同胚不变量，而不变量是我们很期待的东西，用不变量可以快速区分/分类流形。 de Rham 上同调微分形式在 中坐标为 , 记自变量微分 , 引入记号 (wedge), 满足 , , . 记 , 易...