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映射的微分学映射$M^m$是$C^\infty$流形, $f:M\rightarrow \mathbb{R},$ $p\in M.$
若$\,\exists\,$含$p$点允许坐标系$(U,\varphi)$(即$\in [\mathcal{F}]$...
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拓扑流形
局部道路连通(坐标邻域);
连通$\Leftrightarrow$道路连通(局部道路连通);
连通分支可数(第二可数性);
局部紧(局部欧氏).
第二可数性 + 局部紧 $\Rightarrow$ 仿紧性(任意开覆盖有开的,
局部...
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向量丛上的不变量: 紧垂直上同调, 由沿纤维积分给出.
向量丛(全空间)的紧上同调若$s:M\rightarrow E$为零截面, 则它把$M$嵌入到$E$. $s(M)$为$E$的形变收缩,
于是$H^\ast (E)\cong H^\ast (M...
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主要为了讨论紧垂直上同调与Thom类.
向量丛的局部平凡化延续上节记号.
$E_x=\pi^{-1}(x)$是向量空间. 若$\,\exists\,\{U_\alpha\}$为$M$的开覆盖,
其上有微分同胚$\phi_\alpha:E_{U_\al...
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Künneth公式设$M$, $F$是流形, 且$M$的de Rham上同调的维数是有限的, 则
H^n(M\times F)=\sum_{p+q=n} H^p(M)\otimes_\mathbb{R}H^q(F).证: 假定$M$有有限好覆盖. 取...
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MV方法指用MV序列+五引理, 给出对开覆盖开集个数归纳的证明方法.
该方法导出若干重要的定理, 十分有用.
好覆盖的存在性设$M$为$n$维流形, 其上开覆盖$\{U_\alpha\}$称为好覆盖,
若任意非空有限交微分同胚于$\mathbb{R}...
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de Rham上同调的Poincaré引理本节我们希望证明,
$H^\ast (\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^1)\cong H^\ast (\mathbb{R}^n)$.
我们记$\pi:\mathbb{R}^n\ti...
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Mayer-Vietoris序列是代数拓扑中经典的结论, 对于计算同调群有着莫大的帮助.
它当然也存在于de Rham复形中.
上同调MV序列复形的短正合列在代数拓扑中我们知道, 若存在复形的短正合列
0\rightarrow A\rightarro...
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参考书: Warner《微分流形与李群基础》
流形上的微分形式拉回映射光滑函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$可诱导拉回映射$f^\ast :\Omega^0(\mathbb{R}^m)\rightar...
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de Rham
上同调是流形的最重要的微分同胚不变量，而不变量是我们很期待的东西，用不变量可以快速区分/分类流形。
$\mathbb{R}^n$ de Rham 上同调微分形式在$\mathbb{R}^n$中坐标为$(x_1,…,x_n)$, 记自变...