定义音乐同构(musical isomorphism), 又称典范(canonical)同构, 指黎曼流形切丛和余切丛间的同构, 由黎曼度量给出. 黎曼度量$g=g_{ij}dx^i\otimes dx^j$是一个正定二阶的张量场, 每点有映射 \...

对于$T^n=\mathbb{R}^n/A\mathbb{Z}^n,$ $A=[v_1,\cdots,v_n],$ 考虑$-\Delta$的特征函数$f.$ 断言 f_w(v)=e^{2\pi i \left},\quad w\in (A\math...

Heat kernels on cyclic groups - Anders Karlsson and Markus Neuhauser 图上热核令$X$为图, $N(x)$为$x$的全体邻居, $X$上的组合Laplacian定义为 \Delta...

格点上的Poisson求和对充分好的函数, 我们有Fourier变换 \widehat f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(y)e^{-2\pi ixy}dy.命题 1 (Parseval恒等式). $\sum_{n=-\...

Lefschetz不动点理论为了计数不动点$x=f(x),$ 只需数$\Delta\cap G(f)$的交点个数. 由此定义$f$的整体Lefschetz数为$L(f):=I(\Delta,G(f)).$ 它是同伦不变量. 定理 1. 设$f$为紧致...

定向向量空间的定向由有序基决定. 由此可定义矩阵的保(反)定向. 称流形可定向, 若$\,\forall\,x\in X,$ 有坐标卡$(U,\phi)$使得$\,\forall\,y\in U,$ $d\phi_y: T_yX\rightarrow...

模$2$相交数设$Y$的两个子流形$X,Z\subset Y$维数互补, 即$\dim X+\dim Z=\dim Y.$ 此时由横截原像定理, \operatorname{codim}(X\cap Z)=\operatorname{codim}X...

$\varepsilon$-邻域定理设 $Y^n\hookrightarrow \mathbb{R}^k$ 为 $n$ 维光滑嵌入子流形. $\,\forall\,y\in Y,$ $n$ 维子空间 $T_yY\subset T_y\mathbb{R...

Brouwer不动点定理引理 1. 设$M$为紧致光滑带边流形, 则不存在保持边界的光滑映射$f:M\rightarrow \partial M.$ 不然, 由Sard定理, 存在$f^{-1}(q)$为$1$维紧致带边子流形, 有偶数个端点. 而...

带边流形$n$维拓扑带边流形是满足第二可数公理的Hausdorff空间, 且每点有一个邻域同胚于$H^n$的一个开集. 定理 1 (边界的拓扑不变性). $M$是带边拓扑流形, 则$M$上的点不能既是边界点又是内点. 于是$\partial M\ca...