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高度函数首先考虑外围空间$X$为$N$维欧氏空间$E^N$的情形.
此时所有切空间可以等同于$E^N.$ 考虑浸入子流形$x:M\rightarrow E^n.$ 此时
dx=\theta_i e_i,\quad de_i=\theta_{ij}e...
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子流形令$M$为$n$维光滑流形, $f:M\rightarrow X$为浸入.
那么可以取$f^\ast g$为$M$上的诱导度量. 记$p=N-n$为余维数.
我们将$f^\ast (TX)$分解为$TM\oplus(TM)^\perp,$ 分别...
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局部黎曼几何基本定理命题 1. 令$\omega_A$为$U\subset X$中的余标架场. 存在唯一一组$1$-形式$\omega_{AB}$满足:
\omega_{AB}+\omega_{BA}=0,\quad d\omega_A=\ome...
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定义$a^{ij},b^i,c$为在$\Omega_T$上的函数, 记
Lu:=-(a^{ij}u_j)_i+b^iu_i+cu. 若$a^{ij}$对称, 满足一致条件,
则称$\partial_t^2+L$为$\Omega_T$上二阶线性散度型...
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非散度型方程记$\Omega_T=\Omega\times(0,T],$
抛物边界$\partial_p\Omega=\overline\Omega_T\setminus \Omega_T.$
考虑方程$u_t+Lu=f,$ $Lu=-a^{ij}u...
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时间一阶正则性和椭圆型方程类似地, 由于
Lu=f-u_t\quad in\:\Omega,当$\partial\Omega\in C^{m+2},$ $a^{i,j}\in C^{m+1},$ $b^i,c\in C^m,$
$f\in H^m...
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动机考虑问题
\left\{\begin{aligned}
u_t-\Delta u=0&\quad in\:\Omega_T\\
u=0&\quad on\:\partial\Omega\\
u|_{t=0}=h&\quad in\:\O...
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回顾对于对称多项式$S=\mathbb{Z}[t_1,\cdots,t_n]^{S_n},$
$S^k$为$k$次对称多项式, 它有两种基的选取, $\{\sigma_I\}$或$\{m_I\},$
$I$为$k$-划分. $m_I=S_I(\sig...
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为了研究发展方程, 我们需要引入新的概念. 以热方程为例.
设$\Omega\subset \mathbb{R}^n,$ 记$\Omega_T=\Omega\times (0,T].$
u\in L^p(\Omega_T)\Leftrightarr...
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考虑自共轭算子$S:H_0^1(\Omega)\rightarrow H^{-1}(\Omega),$
Su:=-(a^{ij}u_i+b^ju)_j+b^ju_j+cu. 系数均在$L^\infty(\Omega)$中,
$a^{ij}\xi_i...