浸入, 淹没, 嵌入浸入, 淹没有着典范表示. 局部常秩映射也有类似的典范表示.
前两者证明方法是标准化 然后补全维度构造局部微分同胚.
利用这一微分同胚改造坐标系即可.
浸入+同胚=嵌入, 即嵌入子流形的子空间拓扑和诱导拓扑一致.
由浸入的局部表...
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《微分拓扑》复习笔记(1)-基础知识
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《几何专题》笔记(6)-极小子流形
Schur定理若 则称 为Einstein流形. 定理 1 (Schur). 若 那么 也是Einstein流形. 曲率回忆有 拉回得到 这就是Gauss方程. 从而 对于法向联络 定义法向曲率张量 同理, 我们有... -
《几何专题》笔记(5)-Chern-全纯形式
常平均曲率极小子流形设 那么 就是想要的全纯形式. 回忆 从而 为全纯形式, 若亏格为零, 则 因此为球面. Chern-Walfson考虑 为 维常截面曲率 的黎曼流形. 定义 定理 1. 若 ... -
《几何专题》笔记(4)-球面中的极小子流形
记号记空间形式 为 维黎曼流形, 具常截面曲率 . 我们知道, 考虑 类似地考虑 那么 构成 中的正交标架. 我们有 项系数是通过内积得到的, 如 极小子流形设有浸入 我们来计算 记 通过类似的计算, 我们有 ... -
《抛物方程》笔记(1)-极值原理
记号略. 参考辜联崑《二阶抛物型偏微分方程》. 抛物方程在仿射变换 下还是抛物方程. 弱极值原理设 假设 在 内取极大值, 那么在极值点 矛盾. 此时 只能在边界取到极大值. 对于一般的 我们有定理: 定理 1. 若 则 不能在 ... -
《几何专题》笔记(3)-欧氏空间中的极小子流形
高度函数首先考虑外围空间 为 维欧氏空间 的情形. 此时所有切空间可以等同于 考虑浸入子流形 此时 固定一个向量 那么取 上函数 表示沿 的高度函数. 那么, 这就给出了 这在 时说明了如下定理 定理 1. 欧氏空间中的浸入子... -
《几何专题》笔记(2)-第一变分
子流形令 为 维光滑流形, 为浸入. 那么可以取 为 上的诱导度量. 记 为余维数. 我们将 分解为 分别称为切丛和法丛. 沿 取标架场 使得 分别是 处的切向量, 法向量. 记 那么 这是因为 法向的对偶基作用在切向上取零. 由于 ... -
《几何专题》笔记(1)-黎曼几何回顾
局部黎曼几何基本定理命题 1. 令 为 中的余标架场. 存在唯一一组 -形式 满足: 唯一性容易证明. 设有两组满足条件的 令 那么由于 为一组基, 由条件, 显然, 我们还有 这是因为 此时立即得到 这是因为 存在性直接... -
《PDE2》笔记-双曲方程弱解
定义 为在 上的函数, 记 若 对称, 满足一致条件, 则称 为 上二阶线性散度型一致双曲算子. 考虑初边值问题 在一致基础上, 考虑条件 双曲方程弱解需满足 a.e. 为了满足初始条件, 需要 因此需要求 ... -
《PDE2》笔记-Cauchy问题
非散度型方程记 抛物边界 考虑方程 要求 在 内半正定. 设 定理 1 (弱极值原理). 设 为有界开集, 满足适当光滑性条件, 则 可以推出 取负可以得到最小值的控制. 反证法, 假设有 取 只要 充分小, 那么 仍...