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Introduction to smooth manifolds by John M. Lee
定义李群就是指能够成为光滑流形的群, 且乘法和求逆都是光滑映射.
它们往往具有非常好的对称结构. 回忆对于群结构的封闭性,
只需验证$ab^{-1}$的封...
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定理 1. 光滑映射$F:M^m\rightarrow N^n$秩为常数, 若$F$单则$F$为浸入; 若$F$满则$F$为淹没. 若$F$为双射则$F$为微分同胚.
记$r(F)=r.$ 若$F$满, 但$r<n,$
则由秩定理有坐标系使得...
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回顾对于纤维丛
F\rightarrow E\xrightarrow{\pi} B,\quad \pi_1B=0.
E^2_{p,q}=H_p(B;H_q(F))\Rightarrow E^\infty_{p,q}=G_pH_{p+q}(E).考...
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好的情形我们回忆对$\operatorname{Ric}\ge (n-1)K$的完备流形, $p\in M,$
$\,\forall\,x\in S_p\setminus{p},$ 我们有:
\Delta r(x)\le (n-1)\frac{sn...
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准备工作令$M_k$为$n$维单连通黎曼流形, 截面曲率恒为$k,$ 即空间形式.
令$V_k(r)$为半径为$r$的球的体积, $S_k(r)$为其球面面积. 记
g=dr^2+sn_k^2(r)g_{S_{n-1} }
sn_k(r)=\lef...
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回顾对于$\operatorname{Cut}_p=N_p\cup Q_p\cup L_p,$
$(Q_p\cup L_p)$维数小于等于$n-2,$且它是闭的. 设$x_k\rightarrow x,$
若$x\notin Q_p,$ 那么$x$处...
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The dimension of a cut locus on a smooth Riemannian manifold - Jin-Ichi
Itoh and Minoru Tanaka.
准备工作我们来对第一次课中给出的定理进行证明. 首先给出推...
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回顾对于Serre纤维化,
E\xrightarrow{\pi} B, 满足同伦提升性质(对CW复形).
若$B$是道路连通的, 纤维彼此都是同伦等价的, 记为
F\rightarrow E\xrightarrow{\pi}B.定理 1. 令$...
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回顾对于$R$模$A,$ 具有滤列${FpA},$ 我们有分级模$G_pA=F_pA/F{p-1}A.$
我们认为${F_pA},{G_pA}$延展地决定了$A.$ 若滤列是有界的,
那么仅有${G_pA}$便可延展地恢复出${F_pA},$ 进而决...
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定义超图是图的推广, 我们仍记顶点集为$V={x_1,\cdots,x_n},$
将边集记为$E=(E_1,\cdots,E_m),$ $E_i$中的点视为连接在一起.
我们要求$E$满足:
$E_i\neq \varnothing$,
$\bi...