The Mass of an Asymptotically Flat Manifold - Robert Bartnik 带权Sobolev空间我们首先在$\mathbb{R}^n,$ $n\ge 3$中讨论. 记$r=|x|,$ $\sigma=\...

看论文的时候用到了一个结论, 想了一会发现确实是对的. 震撼于这么简单而有用的命题为什么之前没学过, 在此记录一下. 命题 1. 调和函数的任意$k$次Taylor展开为调和多项式. 证: 取调和函数$u,$ 记其$k$次Taylor展开式为$h_...

严格证明若一个广义函数有弱导数, 那么它是不是本身几乎处处等于一个连续函数呢? 注意这里不是指几乎处处连续, 比如$1_{[0,+\infty)}$是几乎处处连续的, 但它不几乎处处等于一个连续函数; 反过来$1_{\mathbb{Q} }$几乎处处...

定理 1. $X,Y$为赋范线性空间. 若$\phi:X\rightarrow Y$为等距满射, 则$\phi$为仿射变换. 证: 首先由于$\phi$是等距变换, $\phi$是单射, 且$\phi$连续. 同时, $\phi-\phi(0)$也...

一开始看到流形上的等距变换, 自然想到保持范数$\Leftrightarrow$保持内积, 从而保持黎曼度量. 但事实上等距(依照初始定义)保持的是流形上的距离, 而不是切空间上的距离, 因此这件事情是需要来证明的. 更重要的一点是, 前述的等价关系...

指数映射测地线回忆$\gamma:[0,1]\rightarrow M$为测地线的充要条件是$D_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.$ 因此若$\gamma$为测地线, 对内积求导可知$|\dot\gamma|$为常数. 因此通过参数...

物理意义以下为本非物理系学生粗略阅读物理文献, 查阅网站后对该定理物理意义的理解, 可能具有不专业之处, 请见谅. 我们熟知有万有引力, 空间中的物体会对周围的物体产生力的作用, 这种力场称为引力场. 场本身理应具有能量, 称为ADM质量, 由三位物...

协变微分张量回忆$T^r_s(V):=\underbrace{V\otimes \cdots\otimes V}_{r}\otimes \underbrace{V^\ast \otimes \cdots\otimes V^\ast }_{s},$ $...

在学习黎曼几何时遇到了一个计算上的问题, 查阅后才发现居然有这种公式, 感觉很是神奇, 特此记录下来. 命题 1. 我们有如下等式成立: \frac{d {}\det(A(t))}{d {}t}=\det(A(t))\operatorname{t...

线性联络定义回忆$C^\infty$流形$M$上黎曼度量$g$指对每个$T_xM$指定一个向量内积$g_x(-,-),$ 也记为$\left<{}-,-\right>_x.$ 称它是$C^\infty$的, 若任取坐标系$(x^1,\cd...