《微分流形》第一章-微分流形(1)

流形基本概念与例子

拓扑

• $M,N$为两拓扑空间, $\varphi:M\rightarrow N$为双射, 且$\varphi$和$\varphi^{-1}$都是连续的, 则称$\varphi:M\rightarrow N$为同胚. 同胚的拓扑空间视为一样的.

• 如果拓扑空间具有可数拓扑基, 则称$M$满足第二可数公理.

• 设$M$为拓扑空间, 如果$\,\forall\,p,q\in M$存在含$p$和$q$的开邻域$U$和$V$, 使$U\cap V=\varnothing$, 则称$M$是Hausdorff的(满足第二分离公理).

欧氏空间$\mathbb{R}^m$为向量空间, 其上有加法, 有数乘. 一般用$l^2$距离定义$\mathbb{R}^m$上距离$d,$ $(\mathbb{R}^m,d)$成为度量空间, 由开球$B(x,r)$全体定义拓扑(构成拓扑基).

给定开集$U\subset\mathbb{R}^m,$ 函数$f:U\rightarrow \mathbb{R}.$ 若$0\le r\le \infty,$ $f$直到$r$阶偏导存在且连续, 则记$f\in C^r(U).$ 若$f$可展开为幂级数, 称其为解析函数, 记$f\in C^\omega(U).$

设$F:U\rightarrow V,$ $U\subset \mathbb{R}^m,$ $V\subset \mathbb{R}^n$为开子集, $F(x)=(f^1(x^1,\cdots x^m),\cdots, f^n(x^1,\cdots, x^m)).$ 若$f^i\in C^r(U),$ $1\le i\le n,$ 则记$F\in C^r(U,V).$

例子

曲线- $F:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}^3$

曲面片- 同胚$F:U\subset \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3$

任意过点$p$曲线可表为$C(t)=F(u(t),v(t)),$ 切向量$C’(t_0)=F_uu’(t_0)+F_vv’(t_0).$ 默认要求$F_u\times F_v\neq 0,$ 称其满足正则性. 切向量全体张成一个平面, 称为切平面.

球面无法用单张曲面片来描述(紧性, 同调群...) 但可以用若干张曲面片来描述.

流形

设$M$为拓扑空间, 满足$\,\forall\,p\in M,$ 存在含$p$的邻域$U_p$, 及从$U_p$到$m$维欧氏空间$\mathbb{R}^m$中开集$D$的同胚$\varphi:U_p\rightarrow D.$ 即它是局部欧氏的. 若其还满足第二可数公理与Hausdorff性, 则称$M$为$m$维拓扑流形. 流形的概念是曲线,曲面概念高维,内蕴的推广, 可视为一块块欧氏空间粘贴起来的一种拓扑空间.

设$M^m$为$m$维拓扑流形, 称$(U,\varphi)$为局部坐标系/图/卡, $x^i(q)$称为$q$在$(U,\varphi)$中第$i$个坐标($1\le i\le m$). 若$(U,\varphi),(V,\psi)$为两个坐标系, $U\cap V\neq \varnothing,$ 则$\psi\circ \varphi^{-1}$称为坐标变换. 如果$\varphi\circ \psi^{-1},\psi\circ \varphi^{-1}\in C^r,$ 则称$(U,\varphi)$与$(V,\psi)$是$C^r$相容的. 它们当然至少是$C^0$相容的.

设$\mathcal{F}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha}$是拓扑流形$M^m$的一族坐标图. 如果$\bigcup_{\alpha\in \Lambda} U_{\alpha}=M,$ 则称$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in \Lambda}$是$M$的坐标图册. 如$\,\forall\,\alpha,\beta\in \Lambda,$ $(U_\alpha,\varphi_\alpha),(U_\beta,\varphi_\beta)$是$C^r$相容的, 则记$\mathcal{F}\in C^r.$

分析流形上函数$f:M\rightarrow \mathbb{R}$时, 只需将$M$中的点在局部坐标系上考虑, 那么$f\circ\varphi^{-1}$即为欧氏空间到欧氏空间上的函数, 称为$f$的局部表示, 以分析$f$的性质. 易见两种局部表示可由坐标变换转化, 若坐标变换是光滑的, 那么局部表示的微分性质在变换下保持, 即不依赖坐标系选取. 可见为了在流形上研究微分学, 必须要有好的坐标图册.

设$\mathcal{F}_1=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\},$ $\mathcal{F}_2=\{(V_\beta,\psi_\beta)\}$是$M$上两个$C^\infty$坐标图册, 若$\,\forall\,\alpha,\beta,$ $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$与$(V_\beta,\psi_\beta)$是$C^\infty$相容的, 则称$\mathcal{F}_1$与$\mathcal{F}_2$是$C^\infty$等价的, 记为$\mathcal{F}_1\sim \mathcal{F}_2.$ $M$上所有$C^\infty$坐标图册可划分为等价类集, 每一个$[\mathcal{F}]$称为$M$上一个$C^\infty$微分结构.

定义 1.1. $m$维$C^\infty$流形=$m$维拓扑流形+$C^\infty$结构[$\mathcal{F}$].

注 1.2. 类似地可以引入$C^r$微分结构, $C^\omega$微分结构, 定义$C^r$微分流形, $C^\omega$微分流形(解析流形).

注 1.3. 设$[\mathcal{F}]$是$M^m$上$C^\infty$结构, $\mathcal{F}_1=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}\in [\mathcal{F}].$ 若$(V,\psi)$与其中每个坐标图$C^\infty$相容, 可加入该图, 得到扩充的坐标图册$\mathcal{F}_1’.$ 它也是$C^\infty$坐标图册, 且仍在等价类$[\mathcal{F}]$中. 这样可得到极大$C^\infty$坐标图册$\mathcal{F}_{\max}\in [\mathcal{F}],$ 也称为$C^\infty$结构.

对$M=\mathbb{R}^m,$ 取$\mathcal{F}=\{(\mathbb{R}^m,\mathrm{id})\}$即为$C^\infty$ $(C^\omega)$ 坐标图册, 称$[\mathcal{F}]$为$\mathbb{R}^m$上标准$C^\infty$结构, $(\mathbb{R}^m,[\mathcal{F}]^{C^\infty})$为$m$维$C^\infty$流形.

文章最后更新于 2021-09-15 16:12:46