《几何专题》笔记(2)-第一变分

子流形

令$M$为$n$维光滑流形, $f:M\rightarrow X$为浸入. 那么可以取$f^\ast g$为$M$上的诱导度量. 记$p=N-n$为余维数. 我们将$f^\ast (TX)$分解为$TM\oplus(TM)^\perp,$ 分别称为切丛和法丛. 沿$M$取标架场$e_A(m),$ 使得$e_i(m),e_\alpha(m)$分别是$m$处的切向量, 法向量.

记$\theta_A=f^\ast \omega_A,$ $\theta_{AB}=f^\ast \omega_{AB},$ 那么$\theta_\alpha=0.$ 这是因为$\theta_\alpha(v)=\omega_\alpha(f_\ast v)=0.$ 法向的对偶基作用在切向上取零. 由于$\theta_A$为拉回, 适用于$\omega_A,\omega_{BA}$的方程对$\theta_A,\theta_{BA}$仍满足.

回忆$d\omega_A=\omega_B\wedge\omega_{BA},$ 我们进一步有$\theta_i\wedge\theta_{i\alpha}=0.$ 由Cartan引理, 我们有

$$\theta_{i\alpha}=h_{i\alpha j}\theta_j,\quad h_{i\alpha j}=h_{j\alpha i}.$$

微分形式

$$\Theta=\Theta_\alpha\otimes e_\alpha,\quad \Theta_\alpha=h_{i\alpha j}\theta_i\theta_j,$$

称为$M$在$X$中的第二基本型. 它描述了$M$作为$X$中子流形的最简单的度量信息.

定义平均曲率向量

$$H=\frac{1}{n}h_{i\alpha i}e_\alpha,$$

它是$M$上的法向量. $M$称为极小子流形若$H=0.$ 它是全测地的, 若$\Theta=0.$ $1$维全测地子流形就是测地线.

第一变分

设$M$紧致, 可能带边界, 它的总体积由

$$V=\int_M \theta_1\wedge \cdots\wedge \theta_n$$

给出. 考虑变分. 取$F:M\times (-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow X,$ 满足$F$限制在$M\times \{t\}$上为浸入, $F|_{t=0}=f.$ 考虑$M\times I$上的标架场$\{e_A\},$ 条件同前(切向, 法向). 此时记

$$F^\ast \omega_i=\theta_i+a_idt,\quad F^\ast \omega_\alpha=a_\alpha dt,$$ $$F^\ast \omega_{i\alpha}=\theta_{i\alpha}+a_{i\alpha} dt.$$

限制在$\{t=0\}$上, 这与原先记号相同. $a_Ae_A$称为形变向量. 在$M\times I$上, 将外微分分解为

$$d=d_M+d_t\frac{\partial {} }{\partial {}t}.$$

在$X$上, 我们有

$$d(\omega_1\wedge\cdots\wedge \omega_n)=\omega_\alpha\wedge\Omega_\alpha,$$ $$\Omega_\alpha=-\sum_i \omega_1\wedge\cdots\wedge \omega_{i-1}\wedge\omega_{i\alpha}\wedge \omega_{i+1}\wedge\cdots\wedge \omega_n.$$

拉回到$M$上, 我们得到

$$LHS=d\{(\theta_1\wedge\cdots\wedge \theta_n)+dt\wedge\sum_i (-1)^{i-1}a_i\theta_1\wedge\cdots\wedge \widehat\theta_i\wedge\cdots\wedge \theta_n\},$$ $$RHS=-dt\wedge a_\alpha \widetilde\Theta_\alpha,$$ $$\widetilde\Theta_\alpha=\sum_i\theta_1\wedge\cdots\wedge \theta_{i-1}\wedge \theta_{i\alpha}\wedge\theta_{i+1}\wedge\cdots\wedge \theta_{n}=h_{i\alpha i}\mathrm{vol}_M.$$

将带$dt$项的式子取等, 我们得到

$$\frac{\partial {}\mathrm{vol}_M}{\partial {}t}=d_M\left(\sum_i (-1)^{i-1}a_i\theta_1\wedge\cdots\wedge \widehat\theta_i\wedge\cdots\wedge \theta_n\right)-a_\alpha\widetilde\Theta_\alpha$$

积分就给出了

$$V'(0)=\int_M -a_\alpha\widetilde\Theta_\alpha+\int_{\partial M}\sum_i (-1)^{i-1}a_i\theta_1\wedge\cdots\wedge \widehat\theta_i\wedge\cdots\wedge \theta_n.$$

当$a_i=0$时, 右端第二项消失, 即形变向量垂直于$\partial M.$ 这更是在$\partial M$固定时成立. 而对任意$\{a_\alpha\}$首项为零当且仅当$H=0,$ 即$M$为极小子流形. 故我们有定理

定理 1. 黎曼流形的极小子流形固定边界时体积变分为临界值.

文章最后更新于 2023-03-02 19:47:46