万有映照性质设 为向量空间, 为双线性映照.
若 向量空间 双线性映照
都存在唯一线性映照 使得 则称
具有万有映照性质.
引理 1. 在下述意义下是唯一的: 若 具有万有映照性质, 则 为线性同构, 且
证: 只需说明 使得
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《微分流形》第五章-张量积
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《代数拓扑与微分形式》笔记(11-2)-Hopf指标定理
欧拉数与截面的孤立奇点假定 是紧定向 维流形, 为定向 丛, 结构群可约化到 . 即它是某个秩 向量丛的球面丛. , 与欧拉数 等同. 定义 的欧拉数为 . 欧拉数依赖于 的定向选取. 命题 1. 条件如前面所述, 则存在 , 限制在 上有截面... -
论文笔记-Ollivier Ricci曲率
Ollivier Ricci Curvature For General Graph Laplacians: Heat Equation, Laplacian Comparison, Non-explosion And Diameter Bounds... -
《微分流形》第五章-多重线性代数
张量积设 是数域 上 维向量空间, 为 的基. 那么 也构成 维向量空间, 称为对偶空间. 由基上取值 唯一决定. 仅在 上取 的函数记为 , 即 构成了 的一组基, 称为 的对偶基. 对于有限维向量空间, 显然我们总有 记 为配对... -
《代数拓扑与微分形式》笔记(11-1)-球面丛
定义对 秩 向量丛, 给定度量 , 可定义 . 置 , ; , 则 是 上纤维为 的纤维丛. 它的结构群是 . 把纤维为球面 的纤维丛称为 维球面丛或 丛. 结构群是微分同胚群 . 它一般并不一定能约化到 . 事实上能约化到 当且仅当该球面丛由向... -
《现代PDE基础》笔记(7)-紧嵌入定理
紧嵌入定理下面证明嵌入 当不等式严格时, 即 嵌入是紧的, 将有界集映到列紧集. 首先我们来简化证明的情形. 假设 时已证好, 那么 取 使得 从而由Sobolev不等式, 我们有 因此嵌入将有界集映成有界集再映至列紧集. 从而只需... -
论文笔记-图上大范围Ricci曲率
Large scale Ricci curvature on graphs - Mark Kempton · Gabor Lippner · Florentin Münch 图上许多曲率仅局限在点与其邻居附近, 局部范围过小, 可能导致无法导出有意思... -
《现代PDE基础》笔记(6)-实指数Sobolev模
实指数Sobolev空间下面希望对 将 为实数的情形给出定义. 考虑 的情形, 记 为 由于 可以对其做Fourier变换. 由变换性质, 我们有: 于是对 可以定义实指数Sobolev空间 配备模 在 为非负整数时由上述推导过程, ... -
《微分流形》第四章-Frobenius定理
对合性命题 1.1. 设 是 上光滑分布. 若 是可积的, 则 即 那么 证: 任取含 坐标系 要证 由可积性过 点存在积分子流形 局部来看由秩定理, 可以视其为切片. 从而 只在前 个自然基上有光滑分量. 计算得到, 同样只在前... -
《微分流形》第四章-分布
积分曲线定理 1.1 (Flow box). 设 若 则存在含 坐标系 使得 即 -曲线就是 在 中的积分曲线. 证: 任取坐标系 不妨设 且进而设其处处非零. 设 可写为 的函数(坐标变换), 使得 两边作用 有 由OD...