主(Principal)$G$-丛$G$为拓扑群. 一个主$G$-丛是一个局部平凡的纤维丛$\pi:P\rightarrow B,$ 在总空间上有一个连续的右作用$P\times G\rightarrow P,$ 使得$G$在每根纤维上的作用是自由可...

示性类与障碍性理论回顾定理 1. 假设$F\rightarrow E\rightarrow B$为纤维丛, $F$是$n$-simple的, $B$为CW复形. 令$s$为$B^{n-1}$上的截面, 可以被延拓到$B^n$上. 那么$s$可以被延拓...

与实向量丛的差异复共轭丛一个秩$2n$实向量丛的复结构指一个连续映射$J:E(\xi)\rightarrow E(\xi),$ 限制在每个纤维上为$\mathbb{R}$线性映射, 且$J(J(v))=-v.$ 可以将$J$理解为虚部. 注 1. 配...

回顾横截相交与杯积由Poincaré对偶联系, $PD([S\cap T])=PD([S])\cup PD([T]).$ 一个应用是考虑$H^\ast (\mathbb{C}\mathrm{P}^n;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[\t...

回顾上次课我们对定向实向量丛$\xi^n,$ 定义了Thom类$u(\xi)\in H^n(E,E_0;\mathbb{Z}).$ 这给出了Euler类$e(\xi)\in H^n(B;\mathbb{Z}),$ 当$B=M^n$光滑时, e(\t...

定向与Thom类回忆对$V$为秩$n$实向量空间, $V$上的定向为 $\operatorname{Iso}(\mathbb{R}^n,V)\cong GL_n(\mathbb{R})$ 上连通分支的选取(线性代数). 也等价于 $H^n(V|0;\...

证明定理 1. SW示性类存在. 只需考虑CW复形$B$上向量丛的的示性类. 不然, 考虑CW逼近$B’\rightarrow B,$ 考虑拉回丛即可. 给定向量丛$\xi:\mathbb{R}^n\rightarrow E\xrightarrow...

Grassmannian上同调计算我们希望得到$H^\ast (G_n(\mathbb{R}^\infty);\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2[w_1,\cdots,w_n].$ 回忆我们希望给出$G_n(\mathbb{R}^\...

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee 定义设有作用$\theta:G\times M\rightarrow M.$ 在$M$上定义等价关系$p\sim q$ $\Leftrightarrow$...

Introduction to smooth manifolds by John M. Lee 定义称李群$G$上向量场是左不变的, 若 d(L_g)_{g'}(X_{g'})=X_{gg'},\quad \,\forall\,g,g'\in G....