紧支撑光滑函数首先考虑克莱因瓶如何嵌入到$\mathbb{R}^4$里, 这直接导致我们需要如下的工具. 在$\mathbb{R}^n$上, 取$\varphi(x)=\begin{cases} e^{\frac{1}{|x|...

预层$X$上预层$\mathcal{F}$指, 对$X$的每个开集赋予一个abel群$\mathcal{F}(U)$, 赋予每个开集的包含$V\subset U$群同态$\rho^U_V:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathc...

负指数Sobolev不等式前面证明了如下不等式: 定理 1.1. 当$\frac{n}{p}=\frac{n}{q}-m$时, 有 \parallel f\parallel_{L^p(\Omega)}\le C|f|_{\dot{H}^{m,q}(...

定义 1.1. 设$X$为$T_2$空间, 若任意开覆盖有局部有限加细, 则称$X$为仿紧空间. 命题 1.2. 流形是仿紧空间. 证: 取流形$M^n$的坐标图册$\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\},$ 首先可将开覆盖加...

子流形设$F:M^m\hookrightarrow N^n$为子流形. 若$\,\forall\,p\in M,$ 存在含$q=F(p)$的$N$中坐标系$(V,\psi,y^\alpha),$ 使得$F(M)\cap V$为$V$中切片, 则称$(...

好覆盖组合计算de Rham上同调设$\mathcal{U}=\{U_\alpha\}$为$M$的开覆盖, 则$\mathcal{U}$的 nerve $N(\mathcal{U})$为一个单纯复形: 对每个$U_\alpha$赋予一个顶点$\alp...

Hausdorff测度基本定义本节假设$(X,d)$为度量空间. 记$\omega_m=\frac{\pi^{m/2} }{\Gamma(\frac{m}{2}+1)},$ 其中$\Gamma(q)=\int_0^\infty t^{q-1}e^{-...

基本定义默认$\Omega\subset \mathbb{R}^n$为有界区域或外区域(有界区域闭包之补), 边界为$C^\infty$子流形或$C^m$子流形. 对边界的光滑性要求由隐函数定理, 等价于要求$\,\forall\,x\in \par...

Characterizations of Forman curvature - Jürgen Jost, Florentin Münch 基本定义胞腔复形与图给定胞腔复形$X=\bigcup X_k.$ 取$\delta:X_k\rightarrow...

秩定理定理 1.1 (秩定理). 设光滑映照$F:M^m\rightarrow N^n$在$p$点邻域内秩为$k,$ 则$\,\exists\,$分别含$p,q=F(p)$的坐标系$(U,\varphi),(V,\psi),$ 使得$p,q$坐标为零...