Sard定理定理 1. 光滑映射$f:M\rightarrow N$的临界值集合为$N$中的零测集. 注 2. Sard定理对$C^k$映射$f:M^m\rightarrow N^n$成立, $k\ge \max\{1,m-n+1\}.$ 注意临界...

浸入, 淹没, 嵌入浸入, 淹没有着典范表示. 局部常秩映射也有类似的典范表示. 前两者证明方法是标准化$D\widehat f,$ 然后补全维度构造局部微分同胚. 利用这一微分同胚改造坐标系即可. 浸入+同胚=嵌入, 即嵌入子流形的子空间拓扑和诱导...

Schur定理若$R_{AB}=c\delta_{AB},$ 则称$M$为Einstein流形. 定理 1 (Schur). 若$R_{AB}=\lambda \delta_{AB},$ 那么$M$也是Einstein流形. 曲率回忆有 d\om...

常平均曲率极小子流形设 Q=q(dz)^2,\quad q=\lambda^2 \widehat H,\quad \widehat H=\frac{1}{2}(h_{11}-h_{22})-ih_{12}.那么$q$就是想要的全纯形式. h\le...

记号记空间形式$R^{n+p}(c)$为$n+p$维黎曼流形, 具常截面曲率$c$. 我们知道, R^{n+p}(c)=\begin{cases} E^{n+p},&c=0\\ S^{n+p},&c=1,\quad x_1^2+\cdots+x...

记号略. 参考辜联崑《二阶抛物型偏微分方程》. 抛物方程在仿射变换$x=Ay$下还是抛物方程. 弱极值原理设$u\in C_p^2,$ $\Delta_x u-u_t>0.$ 假设$u$在$P(D)$内取极大值, 那么在极值点$\Delta_x...

高度函数首先考虑外围空间$X$为$N$维欧氏空间$E^N$的情形. 此时所有切空间可以等同于$E^N.$ 考虑浸入子流形$x:M\rightarrow E^n.$ 此时 dx=\theta_i e_i,\quad de_i=\theta_{ij}e...

子流形令$M$为$n$维光滑流形, $f:M\rightarrow X$为浸入. 那么可以取$f^\ast g$为$M$上的诱导度量. 记$p=N-n$为余维数. 我们将$f^\ast (TX)$分解为$TM\oplus(TM)^\perp,$ 分别...

局部黎曼几何基本定理命题 1. 令$\omega_A$为$U\subset X$中的余标架场. 存在唯一一组$1$-形式$\omega_{AB}$满足: \omega_{AB}+\omega_{BA}=0,\quad d\omega_A=\ome...

定义$a^{ij},b^i,c$为在$\Omega_T$上的函数, 记 Lu:=-(a^{ij}u_j)_i+b^iu_i+cu. 若$a^{ij}$对称, 满足一致条件, 则称$\partial_t^2+L$为$\Omega_T$上二阶线性散度型...