时间一阶正则性和椭圆型方程类似地, 由于
当
时, 我们希望有
由椭圆型方程正则性估计, 在 时,
我们有
定理 1. 为有界开集, . 在系数满足基本条件使得 为热方程弱解时, 若 则 有正则性估计
...
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《PDE2》笔记-热方程正则性
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《PDE2》笔记-Galerkin逼近
动机考虑问题 一种很经典的处理方法是分离变量法, 如果有 那么 进而, 此时 为 的特征函数. 取 那么 构成一组正交基. 我们希望通过 给出弱解. Galerkin逼近可以取到 使得 为 标准正交基, 正交基. 考虑条件 ... -
《代数拓扑2》笔记(23)-$S_I$示性类
回顾对于对称多项式 为 次对称多项式, 它有两种基的选取, 或 为 -划分. 拓扑上, 定义 引理 1 (Thom). 有由之定义的示性类. 新示性类推论 2. 若 那么 对于 取 那么 ... -
《PDE2》笔记-抽象函数
为了研究发展方程, 我们需要引入新的概念. 以热方程为例. 设 记 由此启发, 设 为Banach空间. 若 为Banach可测函数(即可由”简单函数”=”基”逼近), 且 则称 记 定义 记 若 为区间, 可将上述记号简... -
《PDE2》笔记-特征值问题
考虑自共轭算子 系数均在 中, 我们有双线性有界泛函: 满足能量估计: 若存在 使得在 中有 则称其为特征对, 为特征值, 为特征函数. 一个自然的问题是如何找到所有的 若 特征对 则 此时, 由此启发, ... -
《代数拓扑2》笔记(22)-Pontrjagin数
Pontrjagin数对于实流形 为一个定向闭流形, 为 的划分. 定义第 个Pontrjagin数为 注 1. 记 为 反定向, 但 从而 推论 2. 若 Pontrjagin数非零, 那么不存在反定向的微分同胚 若 ... -
《代数拓扑2》笔记(21)-Pontrjagin示性类
Pontrjagin类回顾实向量丛 可以复化为 与它的共轭丛同构. 定义第 个Pontrjagin示性类为 用总Pontrjagin类: 由于它来自于Chern类, 它也满足如下性质: 即 一个例子是 但由于 为自由 -模... -
《代数拓扑2》笔记(20)-主丛应用(科普)
引子固定 为拓扑空间, 取 (紧开拓扑.) 我们有 像称为标架丛. 反过来, 我们有: 光滑流形上的向量丛圆丛设 为(可定向)光滑流形, 保持定向. 那么 若 为同伦等价, 那么 于是我们有 注 1. 每个可定向... -
《代数拓扑2》笔记(19)-结构群
回顾回忆若 是一个拓扑群, 有分类空间 使得有 主丛: 即 在 上有一个依纤维自由可迁的作用. 弱可缩. 命题 1. 设有拓扑群间连续映射 那么它诱导空间上的连续映射 同伦意义下唯一. 注 2. 是一个拓扑群到CW复形同伦范畴的函子.... -
《代数拓扑2》笔记(18)-分类空间
主(Principal) -丛 为拓扑群. 一个主 -丛是一个局部平凡的纤维丛 在总空间上有一个连续的右作用 使得 在每根纤维上的作用是自由可迁的. (保持纤维.) 注 1. 因此可写 局部平凡化意味着可以写 每个右作用也给出左作...